☆ Application de la diagonalisation - Calcul d'une puissance

Propriété

Soit une matrice carrée diagonalisable  \(A\)  de taille  \(n\) , une matrice diagonale  \(D\)  de taille \(n\)  et une matrice carrée \(P\)  inversible de taille \(n\)  telles que \(D=P^{-1}AP\) . Pour tout  \(k∈ \mathbb{N}\) , on a  \(A^k=PD^kP^{-1}\) .

Démonstration

La démonstration se fait par récurrence sur  \(k\) .

Initialisation
Pour toute matrice carrée \(M\)  de taille  \(n\) ,  \(M^0=I_n\) . Donc, d'une part  \(A^0=I_n\)  ; d'autre part  \(PD^0P^{-1}=PI_nP^{-1}=PP^{-1}=I_n\) . Donc, on a bien  \(A^0=PD^0P^{-1}\) .

Hérédité
Soit  \(k∈ \mathbb{N}\)  tel que  \(A^k=PD^kP^{-1}\) , a-t-on aussi  \(A^{k+1}=PD^{k+1}P^{-1}\)  ?
\(A^{k+1}=A^kA\)
D'après l'hypothèse de récurrence,  \(A^k=PD^kP^{-1}\) .
De plus,  \(D=P^{-1}AP\)  donc  \(P^{-1}DP=P^{-1}PAP^{-1}P=I_nAI_n=A\) .
Donc   \(A^{k+1}=A^kA=PD^kP^{-1}PDP^{-1}=PD^kI_nDP^{-1}=PD^kDP^{-1}=PD^{k+1}P^{-1}\) .
La propriété est donc héréditaire.

Conclusion
Cette propriété est initialisée pour  \(k=0\)  et héréditaire à partir du rang  \(0\)  donc,   pour tout  \(k∈ \mathbb{N}\) , on a bien  \(A^k=PD^kP^{-1}\) .